自宅のwwwサーバでCGIを動かしています。ログを取ろうと「open(LOG, ”>>$filename”)」でファイルを作成しようとするのですがファイルを作ってくれません。パーミッションを777にしてもだめです。なぜだか分かる方教えてください。

ディレクトリのパーミッションの設定は適切ですか？

自宅サーバであればエラーログをおそらく出してくれていると思います。そのログを見ましょう。　原因が書いてあります。そのログをここに書いた方が早く回答が得られると思います。

それと何が駄目なのか原因を探しましょう。CGIでエラーが出て駄目なのか、エラーは出ないがログを出力できないのか、perlのプログラムの組み方が悪いのかどうかとか。

それらしいエラーが無いとの事ですが、なんらかの記録は残っていないでしょうか。また違うエラーログ等をみていないでしょうか。

アクセスした時間とサーバーのエラーログの時間を調べてみてその時のアクセスログ、エラーログを見てみましょう。

それとプログラムはそのopenを実行していますか？

open文の直前になんらかのperlコードを入力し入れた行が実行されているか見てみましょう。

またwwwサーバがapacheでsuexecにて実行していますか？

suexecの場合suexec_logを見てみてください。

suexecの場合CGIディレクトリやCGIのパーミッションが多ければエラーを出す様になっています。

またプログラムが正しく動作するか見てみてください。

CGIを別ファイルで同じディレクトリに作り、よくあるサイトにのっているサンプルコード（open）をしてファイルが書き出せるか見てみてください。