100人でイス取りゲームをやったとして、実際問題として全員が座るには、イスが何脚必要なのかを求めるロジックを教えて下さい。

全員が座れたらゲームにならないような気がするのだけど、

イス取りゲームの意味が違うのかな？

椅子とりゲームは　一人だけ座れないので　全員ではないですね。

で、一人だけなので　100人でやるとすれば　99脚必要となります。

それから　順にひとつずつ減らしていけばいいですね。

最小で1脚ですよね。

1脚あれば、2人ずつでトーナメント形式や総当りなどいろいろ出来ますね。

以前、テレビ番組の企画で１００人で１００個の椅子で椅子取りゲームを行ったところ、６人が座れませんでした。

よっておそらく１０７個～１１０個程度は必要だと思われます。

１００人が座るには、１００脚必要です

イス取りゲームのルールを無視して全員すわるという現象を作り出すならば、それは世間一般のイス取りゲームではないと思いますが？

イス取りゲームのルール内で全員座る事例を挙げてみてもらえますか？

または、あなたのイス取りゲームのルールを説明してください。

100人が一人１脚として、全員が座るためには100脚以上必要です。

一般化すると、n人の人間がいて、全員が座るためにはn脚以上のいすが必要であるといえます。

全員が座りたいなら100脚用意すればいいんじゃないの？

回答者４へのコメントを踏まえると、

いすｎ脚を並べるスペース、座り終わると決定するまでの時間、などのパラメータが必要となります。これらがわからなければロジックも組めませんね。

人間の特性とか反射神経とかもパラメータにはいるので、実際問題として、ロジックは組めないでしょう。

せいぜいできるのは実験して、これくらいいるかなとえいやーと決めることだけですよ。

よくわからんのですが１００人で100脚の椅子取りゲームをしたら最初は何人か座れないというのは理解できるのですが最終的には座れるのだからありえないのではないですか？

（１周回れば見つかるはずなので）

たとえば最初に一人が座れる幅を計測してそれがたとえば50ｃｍだったとして100人分すなわち円周の長さが5000cm=50mとなるような長いすを使って椅子取りゲームをするのであるならば起こりうると思います。

しかしながらこの場合でもある程度の概数を統計から導き出すことはできても計算式となると難しいと思います。

なぜなら問題のカテゴリーとして複雑な領域を含んだ問題であると考えられるからです。

体や心、渋滞などといったカテゴリーの問題に分解して統合する必要があるのではないでしょうか？

書いていて思ったのですが

人数が増えれば増えるほど等比級数的に増えていきそうですね。

コメントに書きたかったのですが意味のないことを長々とすみません。

座れない状態をまず定義しましょう。

100個以上椅子があれば、どこかに椅子は余っています。

しかし、自分の今いる場所から遠くに離れている椅子にはすぐには座れません。

例えば、3つ先の椅子が空いていても座れない。としてみましょう。

↓座れない　　　　　↓座れない
□　□　□　□　□　□
　　　　　○

そして、次の状態を考えて見ます。

□　□　□　□　□　□
　①　②　○　③　④

この状態で、

□　①　②　③　④　□
　　　　　○

このように座ってしまうと、中央の○さんは座れません。

この状況になるためには、

• ○さんが、一番どんくさいこと。
• 他の4人が、確率1/15で座ること。

これは、椅子が6個、人数が5人の場合です。

この例を見て分かるとおり、椅子が何個に増えても確実に座れるとは限りません。○さんは、座れないことがあります。

14/15が充分高い確率かどうかが重要になります。たとえば、95%以上ならば充分高いとすると、上記の例では椅子が足りないことになります。

椅子を7個にすると、34/35となり、充分高いといえます。5人の場合は7個必要です。

次に6人の場合で考えましょう。

7個の椅子があり、一番どんくさい人とそれ以外で考えます。

□　①　②　□　③　④　⑤
　　　　　○

このような場合は座れます。

座り方21通りのうち、座れるのは18通りです。

次に①～⑤のなかで一番どんくさい人を考慮します。

この人も座れない可能性があります。

椅子7個で5人の場合ですから、上記で求めた34/35で座れます。

したがって、18/21 * 34/35 = 83%

となり、ちょっと確実とはいえません。

椅子を1個増やすと、

8C5 = 56 , 4C3 = 4 , 8C4=70 ですので、

52/56 * 69/70 = 92%

と、まだまだ確実とは言えません。

もう一個増やすと、

というふうな計算ではいかがでしょうか？

もっと簡略化していいですか?

例えば、ABCDの4人がabcdの4つの椅子に座るとき、座るルールを近くの2つの椅子のいずれかに座るものとすると、4人が争うことなく椅子をとることのできる確率を考えてみます。4つの椅子は均等に並んでいて、それを4人は間を変えることなく順に歩いていくとします。

たとえば、Aがa,bの間にいるときは、Aがaに座る確率を1/2、bに座る確率を1/2として、順に考えていきます。

Aはabの間、Bはbcの間、Cはcdの間、Dはdaの間にいるとして、一般性は失われないので、このとき、ABCDが別々の椅子に座れる確率を考えてみると、ABCDの椅子の取り方は2*2*2*2で16とおり、みんなが座れる座り方はabcdかbcdaの2とおりなので、全員が問題なく座れる確率は2/16=1/8となります。

さて、ここで椅子を1つ増やして、6つにしてみます。

椅子をabcdefとして、Aがabの間にいるとき、Bはbc、Cはde、Dはefの間にいるか、Bはcd、Cはde、Dはfaの間にいることになります。本質的には同じなので、1つめの例で考えます。問題ない座り方はABが二人ともbに座らず、CDも二人友がeを取らなければよいので、求める確率は1-1/4-1/4+1/16=9/16となります。(あってるかな?ちょっと心配)

・・・・。

と、ここまで考えてみて、椅子の位置と人の並び方、そして近い椅子がどれになるのかを考えるのが非常に面倒になってきました。ただ、均等に椅子をならべ、均等な感覚で歩いていくためには、椅子の座り方が近い2つの椅子のどちらかランダムという方法であれば、椅子の数はその2倍あれば、確実に座ることができます。

「2択で座れば椅子は2倍あればいい」という、おもしろくも何ともない結果が出てしまいました。3択になったらどうなるかとか、考える余地はいろいろあると思いますが、とりあえずここまで。

　イス取りゲームは普通時間制限がないので、イスは100脚で全員座れます。もし時間制限を設けるのであれば、9番の回答者がおっしゃる様に、1秒か10秒かで全く違う結果になります。

もしかして、劇場の座席のような想定でしょうか？

（そもそも円ではない？）

だとしたら確かに空席があっても座れなかったりしますよね。両端が埋まってる場合とか。

その場合、空席に対してどのくらい人があふれるかが左右しそうですが、劇場とか建築関係のだと何かロジックが用意されてるのかな？

実験を複数回行い実験式を立てるのが一番の正攻法だと思います。

４の回答者さんのような例が他にも見つかれば、複数の事例からの感覚的な計算式くらいは立てられるのかもしれません。

あいているイスがどのくらい遠いと諦めるのか、などという条件は定めようがないですし。

ロジックを求めるためにルールを厳しくもうけるのは、あまり有意義ではないですね･･･

自然渋滞の仕組みでも求めようとしてるのですか？

椅子の大きさ個々の間隔と、巡回するスピード、椅子から人間の距離。または歩行速度の違いなども上げられるでしょうね。

椅子取りゲームの被験者の体格差、心理要因も大きいでしょう。環境によって椅子の価値が違った場合、偏りは大きいと思います。

ケースによっては３倍４倍、１０倍あっても座れないこともありますね。

実際、データをとることからはじめたらどうでしょう。そうすれば質問の仕方が悪いことがわかると思います。

すいません。旧vol_volです。

少々煽るよおうな文面だったので削除しようと思ったら、ユーザー抹消・・・いえ、どうでもいいことです。

トリビアとしての問題提起だとは重々承知ですが、他で重い話題が上っていたので何となく拳が入ってしまったようです。

個体差によって発生する渋滞と、執着の心理に基づく遊びである椅子取りゲームなので、統計学の方が良いと思います。

データによりおおまかな公式を導き、ケースの差異より、その他の要因を当てはめていった方が近いですね。

愚例をあげれば、１巡目で人と椅子が１００Ｍ間隔に点在させ、人が椅子に近いタイミングで号令をかければ、多分１００回やっても１００席に１００人座れます。

混沌としてる状態では、椅子を座れない人数分増やしたとしても問題の解消にはなりません。

またローカルルールがあるようなものの場合、イメージする像が違うこともあるので、ある程度の説明が欲しいです。

実験結果が揃ったときにある種の集団心理なども見えてきたりするかもしれません。

成り行きを見守っております。

数学なんて学生時代もロクにやらなかったので、考え方があっているかどうかも分かりませんが…

「100人が100脚のイスでイス取りゲームをやったときに、何人があぶれるか？」

ならなんとか計算できそうな気がしました。

イスを選ぶときに目の前のイスを2択で選びます。右か左か。

そして右を選んだ人と左を選んだ人が隣り合ったとき、そのイスに座れない人が出てきます。しかし、たとえそのイスに座れなくてもその両隣のどちらかが空いていて座れる場合は「イスに座れた」ことにします。その両隣がふさがってしまった場合に、その人は「あぶれた」ことになります。

図にすると、

（[右]は右のｲｽをねらっている人、[左]は左のｲｽをねらっている人、○はｲｽ）

○　○　○　○　○

　右　右　左　左

となった場合、中央のイスをねらった[右][左]のどちらかがあぶれます。

この[右右左左]という組み合わせが、100人のうち何組現れるかがわかれば何人あぶれるかが分かると思うんですが…

まあ、質問とはだいぶ違いますけどね。

数学が全然だめなので、ロジックだけ回答します。

質問者さんからのコメントより、求めている現象の定義は

• 椅子は円形に置かれており、周囲に人間を配置する。
• 「ヨーイ、ドン」で全員座れる。
• 以上の状況で常に全員が座れるための法則を求める

と解釈します。

するとロジックとしては「全員が確実に座れ」ればいいと考えます。

とすると、一人が選ぶ確率はこの際必要なく、

一人当たりがこのタイミングで座れる最大範囲内に、

いくつ椅子が必要かがわかればいいのではないでしょうか？

変数として必要だと考えられるのは、

• 参加者が「ヨーイ、ドン」で「座れる」椅子までの距離の最大値
  • 基本椅子に触れればその椅子に座る意思があり、次の動作で座るものとして(ヨーイ・ドンのワンアクションだけでは椅子に座ることはできない)、一歩踏み出し、限界まで手を差し伸べた状態で椅子に触れられる足から指先までの距離と考えます。
• 椅子と椅子の間隔
• 椅子と参加者までの距離
• 椅子の座面の横幅

ではないかと。

この変数を元に、

参加者の椅子までの左右への限界距離二線分と開いた線分の先を結んだ線分でできる百角形を想定し、

この百角形を内包する円の一人当たりの円周線分内に、

各百角形の頂点を椅子と椅子の間と規定した上で、

設定した椅子がいくつ入るかを計算してはどうでしょうか。

(数学がダメなので実計算は…)

以上、的外れでしたら申し訳ないです…。

モデル式を考えて見ました。ちなみに大学数学はわかりません。。

ある人が椅子に着席するまでの時間をＴとします。

1. 空席を発見するまでの時間をＡ（残席が減ると発見しにくくなるので変数）
2. 速度をＶ（一定)
3. 人に移動を邪魔される係数をμ（人が減ると低下する）
4. ターゲットの椅子を変更する回数を初回含め ｎ （人の性格･運により異なる）
5. 次のターゲットに変更するまたはターゲットを定めてから椅子に座るまでの時間を ｔ （人数の影響を受ける）
6. 人数をｐ（今回は定数で100）
7. 席数をｃ
8. 制限時間をＴ(limit)
9. Ｔの最大値をＴ(max)

Ｔ＝Ａｎ + μＶｔｎ　(式1)

ｎ，μ，ｔは変数ｃを持つ関数で以下の通りとする

ｎ＝func1(c,性格,運)

μ＝func2(c,ｎ,ｔ)

ｔ＝func3(c)

Ｔ＝Ａ*func1(c,性格,運) + func2(c,ｎ,ｔ)*Ｖ*func3(c,μ)*func1(c,性格,運)　（式2）

この式を１００人全てについて解いたとき、

Ｔ(limit)≧Ｔ(max)

となるようなｃを求めると、イスが何脚必要なのかわかります。

結局解きようがないんですけどね。

（プログラム的には１００個の関数を同時に走らせて、ミリ秒単位で残り人数をカウントして返す関数を一つ用意したらいいのかな。）