データベース初心者です。

できます。

特別なことはいらないと思いますが、サーバ側のセキュリティ関連の設定が必要となります。

実際の接続方法については、

perlではないですが、

http://oshiete1.goo.ne.jp/qa1278567.html

と

http://www.atmarkit.co.jp/flinux/rensai/mysql04/mysql04b.html

とを参考にすれば分かるのではないでしょうか？

可能です。

ネットワーク越しの接続は通常の利用範囲内なので、とくにこれといったテクニックは必要ありません。

MySQL AB :: MySQL 4.1 リファレンスマニュアル :: 3.1 サーバへの接続およびサーバからの切断

ただ、気をつけて欲しいのはデータベースへの接続は大抵高速な回線で接続されている事が前提になります。

同一LAN内で使うことが想定されており、自宅からレンタルサーバーに接続する等の場合へたをすれば使い物にならないぐらい遅くなります。

また、セキュリティ上も問題があります。

MySQL は単独でのセキュリティ対策はあまりありませんので、MySQL への通信を暗号化するなど対処をする必要があります。

長々と書きましたが、一言で言うと「出来るけどお勧めしない」です。

（国内最安？）さくらの専用サーバ

http://www.sakura.ad.jp/services/dedicated/sakura_dedicated/

↑専用サーバを借りればもちろん可能です。

また、Web上から触りたいだけということであれば

ロリポップ（http://lolipop.jp/）

↑Mysqlのデータベースがひとつ借りられ、phpMyAdminからアクセス可能

という選択肢などもあると思います。

また、ODBCでつなぎたいという場合も、

使えるネット（http://www.tsukaeru.net/plans/vps/）

↑仮想専用サーバでroot権限が使用可能

という選択肢もあります。

DBサーバとことばからして他のホストにDBというサービスを提供するという意味です。

Apache2.2,MySQL5

今あなたのPCではWEBサーバとDBサーバの最低2つのプロセスが常時起動しています。例えば、LANを組んでこの2つのプロセスを違うマシンに分けてやれば、状況によって（アクセス数が膨大など）によっては今より早く処理できます。

逆に言うと1台のマシンですべて済ますなら、サーバ機能なんかいらないので、SQLite（http://ja.wikipedia.org/wiki/SQLite）のようなものを使えばいいわけです。実際にはたぶんMySQLより遅くなるのですすめませんが。

http://q.hatena.ne.jp/answer

ネット環境とかは別にして、MySQLであればmy.cnfにskip-networkingが書いてなければ接続できると思います。

あとデータベース、ユーザ、データベースとユーザごとに接続を制限する事ができるので、それら権限を利用する外部ホストにすればいいかと思います。

ちなみにロリポップとかの格安サーバではlocalhost以外からの接続は出来ないと思いましたので外部から接続できるか確認するのが良いかと思います。（ちがってたらごめんなさい）