以下のようなデータがテーブル（TEST）にあった際に

存在しないデータがあるので、301=701と想定して回答します。

また、ソート条件も示されていないので、結果が期待値の表示になるようにだけ考慮しています。

SET @r=0;

SELECT concat(concat((@r:=@r+1),'位　') , A) as '結果１' FROM `TEST` ORDER BY B DESC

SET @r=0;

SELECT concat(concat((@r:=@r+1),'位　') , A) as '結果１' FROM `TEST` ORDER BY B DESC LIMIT 0, 5

ADODBのコネクトが$connだとして、

$recordSet = &$conn->Execute('SELECT A FROM `TEST` ORDER BY B DESC');
if (!$recordSet){ 
	print $conn->ErrorMsg();
}else{
	$i = 1;
	while (!$recordSet->EOF) {
		print $i++."位　".$recordSet->fields[0].'<BR>';
		$recordSet->MoveNext();
	}
}

$recordSet = &$conn->Execute('SELECT A FROM `TEST` ORDER BY B DESC LIMIT 0,5');
if (!$recordSet){ 
	print $conn->ErrorMsg();
}else{
	$i = 1;
	while (!$recordSet->EOF) {
		print $i++."位　".$recordSet->fields[0].'<BR>';
		$recordSet->MoveNext();
	}
}

こんな感じでどうでしょう。

以下のようなイメージでしょうか。

(表示部分はもうちょっとマシなやり方があった気がしますが。)

<?php

include('adodb/adodb.inc.php');

$ranking_limit = 5;
$sql = sprintf('SELECT T1.A, T1.B FROM `TEST` T1 WHERE T1.B >= (SELECT B FROM `TEST` ORDER BY B DESC LIMIT %d,1) ORDER BY T1.B DESC, T1.A ASC;',$ranking_limit-1);

$conn = ADONewConnection('mysql');
# $conn->debug = true;
$conn->Connect('host','user','password','db');
$rs = $conn->Execute($sql);

$i          = 1;
$rank       = 1;
$prev_point = '';
$tmpl = "%d位 %d<br />";

if ($rs) {
    while ($arr = $rs->FetchRow()) {
        # var_dump($arr);
        if ($prev_point == $arr['B']) {
            printf($tmpl,$rank,$arr['A']);
            $i++;
        } else {
            $rank = $i;
            printf($tmpl,$rank,$arr['A']);
            $i++;
        }
        $prev_point = $arr['B'];
    }
}

?>

MySQLには、ランク付けといった機能がないので、自前で付ける必要があります。

ランク付けする一例を示すと、下記のようなSQLが考えられます。

select count(*)+1 from tbl1
      where B>x.B) as rank,
     C,B,A
    from tbl1 as x

さらに、ランクを条件指定したい（5位タイ以下）とのことなので、上記SQLをインラインビューにすることで、インラインビュー内で付けた名前を、外側のクエリで指定可能になります。

select
  *
 from
  (select
    (select count(*)+1 from tbl1
     where B>x.B) as rank,
     C,B,A
    from tbl1 as x) as y
 where rank<=5
 order by rank