独自ドメインでメールを運用しています。運用はあるwebショップASPのDNSに設定されているようです。

1. 移転先の DNS サーバに、現在の DNS サーバと同様のレコードを作成します(MXレコード等)。
2. ドメインの NS レコードを移転先の DNS サーバのものに書き換えます。
3. 既存のメールアカウントをすべて確認します。
4. google apps 上に既存のメールアカウントと同じアカウントを作ります。
5. ドメインの NS レコードが伝搬されるまで待ちます(TTLを参考)。
6. 既存のメールサーバと google apps のメールサーバの両方を稼働させた状態で DNS の MX レコードを google apps 用に書き換えます。
7. DNS の伝搬に従って徐々に既存のメールサーバから google apps のメールサーバへメールが届くようになります。
8. 既存のメールサーバにメールが届かなくなることを確認したら、既存のメールサーバは閉鎖しても構いません。

↑上記のようにすれば、DNS の MX レコードが書き換えられても、どちらかのメールサーバへメールが届くので、紛失という事態にはならないと思います。