高校数学の数列の和の問題です。

Question

421

50pt

Σ{k/2^(k-1)}
を計算するとどのようになるか、高校数学の範囲内で途中計算つきでお願いします。
（k=1からnまでの整数で考えてください。）

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186 · Answer 1 · 2009-03-29T18:53:47+09:00

$f(x)=\sum_{k=1}^{n} x^k$ を考える
微分すると $f'(x)=\sum_{k=1}^{n} k x^{k-1}$ .
今, $f'(1/2)=\sum_{k=1}^{n} \frac{k}{2^{k-1}}$ が求めたい値.
一方, $x\neq 1$ のとき $f(x)=1+x+\cdots+x^{n}-1=\frac{x^{n+1}-1}{x-1} - 1$ とも書ける.
これを微分すると, $f'(x)=\frac{(n+1)x^{n} \cdot (x-1) - (x^{n+1}-1) \cdot 1}{(x-1)^2}$ .
よって, $f'(1/2) = \frac{(n+1)(1/2)^{n} (1/2-1) - (1/2)^{n+1} + 1 }{(1/2-1)^2} = 4-(n+2)2^{1-n}$ .

なるべく途中計算を入れました.

rsc · Answer 2 · 2009-03-29T19:09:25+09:00

　S=Σ[k=1,n]{k/2^(k-1)}とすると、S-rS法より、r=1/2とすると、

rS=...r+2r^2+･･･+(n-1)r^(n-1)+nr^n・・・②

①-②

(1-r)S={1+r+r^2+･･･+r^(n-1)}-nr^n

∴(1-r)S={1-r^n}/{1-r}-nr^n

r=1/2より

S/2=2(1-r^n)-nr^n=2-2r^n-nr^n=2-(n+2)r^n

∴S=4-2(n+2)r^n

∴S=4-(n+2)(1/2)^(n-1)

回答（2件）