オイラー線の定理↓
http://homepage2.nifty.com/~yoshio_oka/math_2006/osaka_2006_report.htm
について、勉強していました。この定理に関連した例題でしょうか、
---------------------------------------------------
問：平行四辺形ABCDの頂点Aから、2辺BC、CDの中点に引いた2つの直線は、対角線BDを3等分することを証明せよ。
---------------------------------------------------
という問題があります。
「3等分」ということで、オイラー線の定理を使うような気はするのですが・・・どうやって解けばいいのか頭を悩ませております。
皆様のお知恵をお貸しいただきたい次第です。
よろしくおねがいします<m(__)m>
No.2
4504
437
27pt
数学には、別解があるのでオイラー線をつかって証明する方法もあるのかも知れませんが、三角形の重心の性質を使ってみました。
BC,CDの中点をそれぞれ、E,Fとして、AEとBDの交点をG、AFとBDの交点をH、対角線ACと対角線BDの交点をIとすると、
点Iは、平行四辺形の対角線の交点だから、
AI=IC・・・①
BI=ID・・・②
点Eは、BCの中点だから、
BE=EC・・・③
①,③から、点Gは、△ABCの重心になっているから、
BG:GI:BI=2:1:3
∴BG/2=GI/1=BI/3・・・④
また、①から、
BI=(1/2)AD・・・⑤
④,⑤から、
BG/2=GI/1={(1/2)AD}/3
∴BG=2*{(1/2)AD}/3=(1/3)AD・・・⑥
GI=(1/6)AD・・・⑦
条件の対称性から、IHとHDも△ADCについて、同様にして、
IH=(1/6)AD・・・⑧
HD=(1/3)AD・・・⑨
⑦,⑧から、
GH=GI+IH=(1/6)AD+(1/6)AD=(1/3)AD・・・⑩
⑥,⑨,⑩から、
平行四辺形ABCDの頂点Aから、2辺BC、CDの中点に引いた2つの直線は、対角線BDを3等分する。
※参考URL
●三角形の重心:証明
http://www.auemath.aichi-edu.ac.jp/dgs/03/2-160_2.htm
●三角形の重心
http://web2.incl.ne.jp/yaoki/jyuusin.htm
●三角形の五心
□ 重心の性質
△ＡＢＣの重心をＧ，ＢＣ，ＣＡ，ＡＢの中点を各々Ｌ，Ｍ，Ｎとするとき，
ＡＧ：ＧＬ＝２：１
ＢＧ：ＧＭ＝２：１ ・・・イ
ＣＧ：ＧＮ＝２：１
が成り立ちます．
http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/math2/sansin.htm
●三角形のオイラー線，9点円及びその周辺の話題
定理（三角形のオイラー線）
△ＡＢＣの外心Ｏ，重心Ｇ，垂心Ｈはこの順に一直線上にあり
ＧＯ：ＧＨ＝１：２
が成り立つ．
http://komurokunio-id.hp.infoseek.co.jp/index1.html
●オイラー線の証明 - 常春な人の日記
No.1
22030
27pt
難しく考える必要は全くないです。
BCの中点をEとしましょう。
そしてAEとBCの交点をFとします。
すると三角形FBEと三角形FDAは相似であることがわかります。
また、相似比は1：2です。
従って、2FB＝FDであり、BD＝3FBです。
同様にCDの中点をG、AGとBDの交点をHとすると
三角形HDGと三角形HBAについて同じことが言えます。
返信遅くなりましてすいません(>_<)
yo-kunさんの指示通りにやってみたのですが、"三角形FBE"が、三角形にならないのです。
AEとBCの交点をF、BCの中点がEの時、FもEも直線BC上にある気がするのですが・・・
No.2
4504437
ここでベストアンサー
27pt
数学には、別解があるのでオイラー線をつかって証明する方法もあるのかも知れませんが、三角形の重心の性質を使ってみました。
BC,CDの中点をそれぞれ、E,Fとして、AEとBDの交点をG、AFとBDの交点をH、対角線ACと対角線BDの交点をIとすると、
点Iは、平行四辺形の対角線の交点だから、
AI=IC・・・①
BI=ID・・・②
点Eは、BCの中点だから、
BE=EC・・・③
①,③から、点Gは、△ABCの重心になっているから、
BG:GI:BI=2:1:3
∴BG/2=GI/1=BI/3・・・④
また、①から、
BI=(1/2)AD・・・⑤
④,⑤から、
BG/2=GI/1={(1/2)AD}/3
∴BG=2*{(1/2)AD}/3=(1/3)AD・・・⑥
GI=(1/6)AD・・・⑦
条件の対称性から、IHとHDも△ADCについて、同様にして、
IH=(1/6)AD・・・⑧
HD=(1/3)AD・・・⑨
⑦,⑧から、
GH=GI+IH=(1/6)AD+(1/6)AD=(1/3)AD・・・⑩
⑥,⑨,⑩から、
平行四辺形ABCDの頂点Aから、2辺BC、CDの中点に引いた2つの直線は、対角線BDを3等分する。
※参考URL
●三角形の重心:証明
http://www.auemath.aichi-edu.ac.jp/dgs/03/2-160_2.htm
●三角形の重心
http://web2.incl.ne.jp/yaoki/jyuusin.htm
●三角形の五心
□ 重心の性質
△ＡＢＣの重心をＧ，ＢＣ，ＣＡ，ＡＢの中点を各々Ｌ，Ｍ，Ｎとするとき，
ＡＧ：ＧＬ＝２：１
ＢＧ：ＧＭ＝２：１ ・・・イ
ＣＧ：ＧＮ＝２：１
が成り立ちます．
http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/math2/sansin.htm
●三角形のオイラー線，9点円及びその周辺の話題
定理（三角形のオイラー線）
△ＡＢＣの外心Ｏ，重心Ｇ，垂心Ｈはこの順に一直線上にあり
ＧＯ：ＧＨ＝１：２
が成り立つ．
http://komurokunio-id.hp.infoseek.co.jp/index1.html
●オイラー線の証明 - 常春な人の日記
rsc96074さん、今回もご回答いただき、ありがとうございます！
しかも重心やオイラー線に関する情報もたくさん教えていただき、勉強になります！
コメントもありがとうございました。
⑤のところで、「えっ？」と思いましたが、理解できました（*^_^*）
条件の対称性を利用した箇所も、rsc96074さんのおかげで、展開することができました。
点Fは、DCの中点だから、
DF=FC・・・③'
点Hは、△ACDの重心になっているから、
DH：HI：DI=2：1：3
DH/2=HI=(1/2)・・・④'
DI=(1/2)BD・・・⑤'
④'、⑤'から、
DH/2=HI=(1/2)BD/3
HD=2・(1/2)BD/3
=(1/3)BD ・・・⑨ (∵HI=DI/3=(1/3)・(1/2)・BD)
IH=(1/2)・(1/3)・BD・・・⑧ (∵⑨を④'に代入)
といった感じですね！
ありがとうございます(^_^)
No.3
559
26pt
そもそもの話として、
「ある事実を証明するためにこの定理を使わなければならない」
ということは決してありません。
ですので、証明問題は自由な発想で取り組むのが最も良いと思います。
ということを踏まえて、
私でしたら以下のように解きます。
辺BCの中点をEとし、AEとBDの交点をFとします。
すると、三角形BEFと三角形DAFは相似となり、相似比は1:2です。
よって、BFの長さはBDの長さの3分の1になります。
同様に辺CDの中点をG、AGとBDの交点をHとすると、
三角形DGHと三角形BAHは相似で、相似比は1:2のため、
DHの長さはBDの長さの3分の1になります。
上記よりFHの長さもBDの長さの3分の1になり、証明終了です。
すごくスマートな解き方ですね！
ありがとうございます(^_^;)
rsc
2009/12/28 08:59:29
236
235
yo-kun
1
4
2
rsc96074さん、今回もご回答いただき、ありがとうございます！
しかも重心やオイラー線に関する情報もたくさん教えていただき、勉強になります！
コメントもありがとうございました。
⑤のところで、「えっ？」と思いましたが、理解できました（*^_^*）
条件の対称性を利用した箇所も、rsc96074さんのおかげで、展開することができました。
点Fは、DCの中点だから、
DF=FC・・・③'
点Hは、△ACDの重心になっているから、
DH：HI：DI=2：1：3
DH/2=HI=(1/2)・・・④'
DI=(1/2)BD・・・⑤'
④'、⑤'から、
DH/2=HI=(1/2)BD/3
HD=2・(1/2)BD/3
=(1/3)BD ・・・⑨ (∵HI=DI/3=(1/3)・(1/2)・BD)
IH=(1/2)・(1/3)・BD・・・⑧ (∵⑨を④'に代入)
といった感じですね！
ありがとうございます(^_^)