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問：複素数平面上の3点S1(z1)、S2(z2)、S3(z3)およびT1(w1)、T2(w2)、T3(w3)について、z3－z1/z2－z1＝w3－w1/w2－w1であり、この値が実数でないとき、△S1(z1)S2(z2)S3(z3)および△T1(w1)T2(w2)T3(w3)は相似であることを証明せよ。
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を解きたいのですが、どう手をつければいいのやら・・・皆さんのお力をお貸しいただきたい次第です(>_<)
※S1、z1等＝"1"や"2"は下付き文字なのですが、うまく書けませんでしたので、このように表記させていただきました・・・ご了承ください<m(__)m>
No.1
4503
437
100pt
■基本事項
複素数平面上において、
●2点A(α),B(β)間の距離は、|β－α|・・・(A)
複素数平面上の異なる3点をA(α),B(β),C(γ)とすると、
●∠BAC＝arg{(γ－α)/(β－α)}・・・(B)
●3点A,B,Cが同じ直線上にある⇔(γ－α)/(β－α)が実数。（∵偏角が0°,180°）・・・(C)
(z3－z1)/(z2－z1)＝(w3－w1)/(w2－w1)・・・①
①の値が実数ではないとは、基本事項(C)から、3点S1(z1)S2(z2)S3(z3)および3点T1(w1)T2(w2)T3(w3)がそれぞれ、同じ直線上にはないということ。
①から、絶対値が等しく、偏角も等しいから、
｜(z3－z1)/(z2－z1)｜＝｜(w3－w1)/(w2－w1)｜・・・②
arg{(z3－z1)/(z2－z1)}＝arg{(w3－w1)/(w2－w1)}・・・③
②から、｜z3－z1｜/｜z2－z1｜＝｜w3－w1｜/｜w2－w1｜
よって、基本事項(A)から、
S1S3/S1S2＝T1T3/T1T2・・・④
③から、基本事項(B)より、
∠S2S1S3＝∠T2T1T3・・・⑤
④⑤から、二辺比夾角相等より、△S1S2S3(z3)∽△T1T2T3
※参考URL
●相似
三角形の相似条件
・3組の辺の比がすべて等しい（三辺比相等）。
・2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい（二辺比夾角相等）。
・2組の角がそれぞれ等しい（二角相等）。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%9B%B8%E4%BC%BC
●複素数と複素数平面
＞※2点間の距離
http://www.jttk.zaq.ne.jp/phenomenon/math/20.htm
●複素平面 -Part.2-
kubomi
2010/01/27 05:39:10
236
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moon-fondu
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すごくよく理解できました！
ありがとうございます(^_^;)