稼働中のサーバーに対してフルバックアップ(/ 指定)を取るのは危険ですか？

データベースは、まずいと思いますよ。

バックアップを取ることで、動作中のファイルが壊れることはないと思いますが、データベースは複数のファイルの整合性が大事なので、取ったバックアップが使いものになりません。

後、unix 系だと想像しますが、root から定期的にバックアップを取る意味がありません。

正しくインストールされていれば、/usr や /etc 、/opt なんかはインストールや定義を変更したときだけで十分です。

/tmp はバックアップを取る意味が無いし。

/var も、アクセスログなんかを失っても良ければ、こまめにバックアップを取る必要はないでしょう。

危険じゃないですが、復元するときに気をつけないと。復元できません。

＞この状態でフルバックアップを開始するのはファイル破損の可能性などありますか？

あります。

質問文のような用件で、フルバックアップをしたいのなら、システム停止してからでないと無理です。

＞MySQLをストップしてから開始

DBは重要ですから、ファイルベースのバックアップを考えるまえに

DBとしてのバックアップ、復元計画を立てる必要があります。

DB以外に状態が変化するようなファイルがほかにあるんでしょうか？

危険です。

ファイル破損することはないでしょうが、CPUやI/Oに負荷をかけます。

Baculaが動ける余裕のある時間帯にバッチ処理するのが基本です。

スナップショットを取れば可能です。

こちらに解説があります。

http://www.atmarkit.co.jp/flinux/rensai/root06/root06b.html

スナップショットを取ること自体はすぐに終わりますが、バックアップ作業は時間がかかるので

恐らくは深夜帯が負荷が少ないと思われるため、深夜にバックアップを行うことをオススメします。

mysqlを稼働中にバックアップするなら、それ用のコマンドを使った方がよいです。停止した状態なら、フルバックアップでも構いません。