例えば、１ヶ月ごとにいろんな都道府県に引越しをしている人は、

1月1日に住民票があるところに支払うようです。

http://oshiete.goo.ne.jp/qa/3096365.html

その年の１月１日現在で居住しているところ(原則として住民票の住所)で課税されます。そのため、１月２日以降に他の市町村に転居した場合でも、１月１日現在で居住していた市町村に全て納付しなければなりません。この場合、その年度の住民税は転居先の市町村から課税されることはありません。(wikipedia参照)

税金は先の通りですが、国保は住民票のある自治体に1ヶ月単位で加入する事になります（つまり保険料も1ヶ月単位で）

ただ、そんなに頻繁に住民票を移すのは手間ですから、連絡の取りやすい所に固定しておく方が便利かと思います。

本当に根無し草のように転々とすると厄介ですね。

前の住所を完全に引き払うなら住民票を固定する事はできません。

一応、法律で住所を固定しろ（たとえ1ヶ月ごとでも）とされていますので、住所無しはマズイです。保険さえ入れなくなりますし、

所属する会社とかなにか無いのでしょうか？

追記があればコメント欄を開けて下さい。