1+1=2であると論理的に証明してください。

何だかおもしろくなってきました。

証明とは何でしょうか。

(1) まず最初に、「何の証明も要らずに事実として使えることがら」を決めます (「公理」と言います。) 公理は無前提の定義なので、証明せずとも成り立ってしまっているものです。ただし、唯一絶対の公理というものは無くて、自分の好きなように決めて構いません。ですが一般的な公理でないものを使う場合は、そのことをあらかじめはっきり言っておく必要があります。

(2) つぎに、「こういうことが言えたなら、こういうことが言える」というルールを決めます (「推論規則」と言います)。代表的なものとして、「AならばB」かつ「BならばC」ならば「AならばC」と言える (いわゆる三段論法) があります。この推論規則も、唯一絶対の規則というのはなくて、いろいろな選び方があります。例えば「『Aの否定』の否定」は「A」である、という規則を認める場合と、認めない場合があります。これまた、一般的でない推論規則を使うなら、あらかじめはっきり言っておく必要があります。

(3) 真か偽かで答えられる文 (「命題」と言います) を持ってきて、公理から出発して推論規則をひとつづつ当てはめてゆくことで、命題にまでたどり着けたら、それを「証明」と言います。

さて、「1+1=2」の証明ですが、まず公理系を決めないとなりません。何の断りもなくぽんとこういう問題を出されたら、普通は「自然数の公理系」を考えると思います。

まず、自然数とは何か、の定義です。以下の性質を満たすものを自然数と呼ぶことにします。

(a) 0は自然数である

(b) 自然数nが存在すると、その「次の数」succ(n)が存在し、それもまた自然数である。

(c) 0はどんな自然数の「次の数」でもない。

(d) 自然数a, bがa≠bであるとき、succ(a)≠succ(b)である。

(e) ある命題が0について成り立ち、また「その命題がnについて成り立つならば、その命題はsucc(n)についても成り立つ」ならば、その命題は全ての自然数について成り立つ。

つまり、自然数とは0, succ(0), succ(succ(0)), succ(succ(succ(succ(...(0)....)))) などの集まりになります。ただ、いちいちsucc succと書くのは面倒なので、いくつか名前をつけておきます。

(f) succ(0)を1と呼ぶ

(g) succ(1)を2と呼ぶ

これらは単に名前をつけただけで、計算しているのではないことに注意してください。

つぎに、足し算+を定義します。

(h) n + 1 = succ(n) である。

(i) succ(n + m) = n + succ(m) である。

このルールを満たすものを足し算と呼ぼう、というわけです。このルールと、自然数の定義から、交換法則や分配法則は導けます。

ここまで、succ(n)が具体的に何か、とか、足し算の意味は何か、といったことを一切扱っていないことに注意してください。どういう意味づけをするかにかかわらず、こういう公理系というルールの上で考えましょう、ということです。

おっと、「等しい」について何も言っていませんでした。ちょっと逆戻りしますが、等しさについて次の性質を認めます。

(j) a = b かつ b = c ならば a = c

(k) a ≠ b かつ b = c ならば a ≠ c

(l) 常に、a = b か a ≠ b のどちらか一方のみが成り立つ

では1 + 1 = 2を証明します。

(h)から、1 + 1 = succ(1)

(f)から、succ(1) = 2

(j)から、1 + 1 = 2 (証明終)

もしこの証明にmoonwolfさんが納得できないのであれば、次のどれでしょう。

(A) 足し算の定義に納得いかない。

(B) 自然数の定義に納得いかない。

(C) 等しさの定義に納得いかない。

(C) 「公理と推論規則から命題を導くことを証明という」という定義が納得いかない。

前にも言ったように、定義というのは自分の好きなように決めて構いません。なので、今ある定義に納得がいかないから新しい定義を作る、というのはOKです。でも、何も言わずに始めたらみんなは「普通の定義を使っているだろう」と思うので、途中で「納得いかないから変える」と言い出すのは無しです。納得いかない、変えたいのであれば、最初に「ここでは私は足し算をこう定義する」「自然数をこう定義する」と断ってから、「この公理系で 1+1=2を証明してください」などと言ってください。それが最低限の礼儀です。

もちろん、1+1の答えは、どういう定義を採用するかによって異なってきます。ブール代数の世界では 1+1=1 でおかしなことは無いですし、「2を法とする剰余系」では 1+1=0 になります。上の証明を見て、「いや私の考えていた定義は普通の定義じゃなくてこれなんだ、だから上の証明はおかしい」などと後から言い出すのは無しですよ。定義が違えば答えが違うのは当然なんですから。

自然数の定義(ペアノの公理)

1. 自然数 0 が存在する。

2. 任意の自然数 a にはその後者 (successor)、suc(a) が存在する（suc(a) は a + 1 の "意味"）。

3. 0 はいかなる自然数の後者でもない（0 より前の自然数は存在しない）。

4. 異なる自然数は異なる後者を持つ：a ≠ b のとき suc(a) ≠ suc(b) となる。

5. 0 がある性質を満たし、a がある性質を満たせばその後者 suc(a) もその性質を満たすとき、すべての自然数はその性質を満たす。

簡単に言えば、「自然数は０から始まって次々と数がつながっているもので、その中に同じ物は存在しない」

０→0の次の数→(0の次の数)の次の数→((0の次の数)の次の数)の次の数→・・・

これが自然数で

0の次の数→１と名づける　 …1)

(0の次の数)の次の数→２と名づける …2)

これで「２」が定義される。

足し算の定義

1. すべての自然数 a に対して、a + 0 = a 、

2. すべての自然数 a, b に対して、a + suc(b) = suc(a + b) 。

　　　※suc(0) := 1 と定義するならば、suc(b) = suc(b + 0) = b + suc(0) = b + 1 となり、b の後者とは単に b + 1 のことである。

混乱するので足し算を「＋」でなく「☆」で表してみると

3) a ☆ 0 = a

4) a ☆ (bの次) = (a ☆ b)の次

この２つが足し算の定義

【証明】

証明に必要なのは以下

1) 0の次＝１　（１の定義）

2) 1の次＝２　（２の定義）

3) a ☆ 0 = a

4) a ☆ (bの次) = (a ☆ b)の次　(これは a+(b+1)=(a+b)+1という意味)

1 ☆ 1 = 1 ☆ (0の次) 　…1)1の定義より

　=　(1 ☆ 0)の次　　　　…4)より 1 ☆ (0の次)=(1 ☆ 0)の次

= (1)の次　　　　　　…1)より　なぜなら　1 ☆ 0 = 1

= ２　　　　　　　　　…2)より 2の定義は 1の次

これで1+1=2が証明できました

　こちらは参考になるでしょうか。数学はそういう当たり前のこと(基礎)が一番難しい。(^_^;

●くろべえ: 1+1=2 の証明

http://kurobe3463.blogspot.com/2004/11/proof.html

●自然数

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0

※参考URL

http://q.hatena.ne.jp/1104994770

http://okwave.jp/qa/q217225.html

http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1011667...

http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1453524...

http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1112610...

１個の碁石を用意します。そして、そこにもう１個の碁石を加えます。

すると、２個の碁石になりました。

１たす１は、２です。

以上。

０と自然数の集合をＭとする。

１ ０はＭの元である。

２ ｎがＭの任意の元であれば、その後継（successor)と呼ばれるsnc(n)がだた１つＭに存在る。

３ 後継が０になるような元はＭに存在しない。

４ Ｍの任意の元ｍとｎに対して、ｍ≠ｎならば、suc(m)≠suc(n)

５ Ｍの部分集合Ａが０を含み、ｎを含めば、suc(n)も含むとき、Ａ=Ｍである。（数学的帰納法）

そこで、証明するための準備として

公理には定数記号が０しか明記されていないので、定数記号を下記のように定義する。

1=suc(0)

2=suc(suc(0))

3=suc(suc(suc(0)))

・

・

公理５よりＭにおいて、加法が下記のように定義出来る。

定義１ Ｍの任意に元ａに対して、a+0=0+a=a つまり、０を加法に関する単位元とする。

定義２ suc(a)+b=a+suc(b)=suc(a+b)

上記のようにＭにおいて、加法を定義すると、Ｍの任意の元ａの後継はa+1になる。

何故ならば、定義１より、suc(a)=suc(a+0)、定義２より、suc(a+0)=a+suc(0)=a+1

したがって、suc(a)=a+1・・・・Ⅰ

そこで、「1+1=2」の証明

Ⅰにおいて、ａ=1とすると、suc(1)=1+1・・・・①

1=suc(0)であるから、suc(1)=suc(suc(0))=2・・・・・②

しただって、①②より

1+1=2

ポイント不要。

そう定義しているからというのは証明ではありません。

数学を多少なりともかじった者として言わせていただきますと、そういう定義が実際になされているのならば、それはそれで立派に証明たりえますよ。

実のところ（これが自然数に於ける加法の話であると仮定して）、「１＋１＝２」というのは、私たちの日常的感覚では、定義と言っても全く差し支えありません：但し、それはあくまでも私たちの日常的感覚での話であって、最初の「１」とその次の「１」の意味が、数学的に全く異なっている事を考慮していないわけですが。

そもそも、ご質問のような、

1+1=2であると論理的に証明してください。

という文言だけでは、前提となる数学的公理が全く示されていませんので、論理的に証明する事は不可能なのです。第一、自然数の定義すら提示されていません。

…仮に、例えば自然数が、元「０」と写像「次」によって帰納的に定義される元の集合であるとし（抽象代数では、「０」を自然数として扱うのが普通です）、加法と乗法に関してはペアノの公理系に基づくとすれば、これらの演算について、結合法則と分配法則が成り立つ事、可換である事、「０」が加法の単位元と乗法の零元になる事、「１」が乗法の単位元になる事、が証明できます（これらの証明をする事は、ペアノの公理系が私たちの日常的感覚と一致する事を示す意味で重要です）。そのうえで、「１」が「０」の「次」である事、「１を足す」事と写像「次」が等価である事が証明でき、そこから「１＋１＝２」である事が導かれます。

この他にも、例えば自然数と集合を対応付けるなど、様々な方法があるようです（あいにく私は詳しく知らないので説明できませんが）。

数学１＋１＝２について

プラスとは、たすことである　つまり増えるということです

１＋１とは、１に１を増やすという意味です

ふやしたけっかが２になります　

大根１本　＋　大根１本　＝　大根２本　

と食卓の上に並べてみてください。

1+1=2　　大根1本と1本を足すと2本になる(10進法)

1+1=10　　(上と同じことを二進法で表記)

1+1=1 「大根ばかりじゃなあ」(同一性)

大根が4本ある(言語以前の現実存在)

1+1=2は、アラビア数字を使った十進法の場合にのみ正しいことがわかります。あくまで表現型です。

数学(算数)というのは国語ではありません。

そもそも“論理的に”が存在しないと考えています。

あえて言うなら1=1.0000000000…のことであり、

1+1の答えはただ1つ、「2」です。

というか、答えが2キッカリになり、

2つの項の一の位が双方とも1なのはこの式だけです。