「ブラウザ」と「ブラウザー」では、どちらが正しいのでしょうか?

どちらが正しい、という事は無いですが、JIS 規格には、３音以上の場合に語尾の「ー」は付けない、というのがあります。

長音符 - Wikipedia

上記ページの「JIS規格において原語（英語）の語尾の長音符号を省く場合の原則」に書かれています。

そのため、理科系や技術屋の人は、「ブラウザ」と表記するのが一般的です。

ただ、上記ページの「長音符の省略」の所にも書かれていますが、どちらかが間違いという訳ではなりです。

外来語に無理矢理カタカナをあてはめている以上、どちらか一方だけが正しいということはありません。

ただし、それでは文章によって揺れが出てしまい支障があるため、業界ごとの慣習や、社内標準があったりします。

• 「フォルダ」が「フォルダー」に、マイクロソフトが長音表記を変更
• マイクロソフト、外来語カタカナ用語末尾の長音表記を変更へ ～コンピュータ/プリンタがコンピューター/プリンターに
• マイクロソフト製品ならびにサービスにおける外来語カタカナ用語末尾の長音表記の変更について
• によれば、

長音なし(ブラウザ): 自然科学/工学系のほか、学術論文の分野
長音あり(ブラウザー): 新聞や放送など
で広く利用されているとのこと。

また、それら記事の主題でもある、マイクロソフト社の製品で採用する表記の標準としては、
Windows 3.1～Vista: 長音なし(ブラウザ)
Windows 7～: 長音あり(ブラウザー)
となっています。

国語審議会の報告を基にした内閣告示や、それに基づいたテクニカルコミュニケーター協会のガイドラインも長音あり(ブラウザー)の方です。

「内閣告示が長音ありを標準としているのだから長音ありが正しい(日本標準である)」と捉えることもできるかもしれませんが、ローマ字については内閣告示による訓令式よりもヘボン式の方が広く利用され訓令式が社会にあまり受け入れられていない例もあることから、内閣告示だから単純に正しい(日本標準である)とは限らないと私は考えています。(ただしこれに関しては個人的にも長音ありの方が自然だと思っていますが)

brows・er[ br uz r ]
発音記号が出ないので元のページをどぞ。
http://dic.yahoo.co.jp/dsearch?enc=UTF-8&p=browser&dtype=1&dname=1na&stype=0&pagenum=1&index=009837000
browserであって、ブラウザでもブラウザーでもありません。
日本語（カタカナ）で表記した時点で厳密には正しくないですから、どっちでもいいです。
棒があってもなくても音には大した違いはないです。
さすがにディスクとデスクは違いますが。
（俺もディスクトップって言ってたよぉ、恥ずかしい）

どちらも正しいです。
マイクロソフト、任天堂は「ブラウザー」を使っています。

• http://www.microsoft.com/ja-jp/windows/products/winfamily/ie/function/default.aspx
• http://www.nintendo.co.jp/ds/browser/

グーグル、モジラ、オペラは「ブラウザ」を使っています。

• http://www.google.co.jp/chrome/intl/ja/landing_ch.html
• http://mozilla.jp/firefox/
• http://jp.opera.com/

三省堂の大辞林では「ブラウザ」としています。

• http://dic.yahoo.co.jp/dsearch?p=%E3%83%96%E3%83%A9%E3%82%A6%E3%82%B6&stype=0&dtype=0&dname=0ss

小学館の大辞泉では「ブラウザー」としており、『「ブラウザ」とも』と書かれています。
「ブラウザ」は「ブラウザー」を参照しています。

• http://dic.yahoo.co.jp/dsearch/0/0na/16294650/
• http://dic.yahoo.co.jp/dsearch?p=%E3%83%96%E3%83%A9%E3%82%A6%E3%82%B6&stype=0&dtype=0

IT用語辞典バイナリ
http://www.sophia-it.com/content/%E3%83%96%E3%83%A9%E3%82%A6%E3%82%B6

Webブラウザ
別名：ブラウザ，ブラウザー，WWWブラウザ，閲覧ソフト

IT用語辞典e-Words
http://e-words.jp/w/E38396E383A9E382A6E382B6.html

ブラウザ【browser】
Webブラウザを意味する場合が多い

http://kotobank.jp/word/%E3%83%96%E3%83%A9%E3%82%A6%E3%82%B6%E3%83%BC

ASCII.jpデジタル用語辞典
通常は、Webブラウザーのことを指す。

百科事典マイペディア
閲覧ソフトウェアとも。

知恵蔵2011
「ウェブブラウザー」のことを指す。

IT用語がわかる辞典
「ウェブブラウザー」の略

色々な呼び方があります。

1991年に公示された内閣告示第二号では、「一般の社会生活における外来語の表記」のルールとして、「英語の語末の‐er,　‐or,　‐arなどに当たるものは，原則としてア列の長音とし長音符号「ー」を用いて書き表す」と規定されています。

http://www.mext.go.jp/b_menu/hakusho/nc/k19910628002/k19910628002.html

よって、「一般の社会生活における外来語の表記」としては「ブラウザー」が正解です。
ただし「慣用に応じて『ー』を省くことができる」とも規定されていますので、「ブラウザ」も間違いではありません。