Ec-Cubeをカスタマイズし、カートの概念のないものを作っております。

「受注管理＞対応状況管理」で表示されないという事でしょうか？
「dtb_order」の「status」に正しい値が保存されているか確認してみてください。
有効な値と対応するステータスは次の通りです。(「mtb_order_status」テーブルで確認できます。)

1・・・「新規受付」
2・・・「入金待ち」
3・・・「キャンセル」
4・・・「取り寄せ中」
5・・・「発送済み」
6・・・「入金済み」
7・・・「決済処理中」


※なお、上記が設定されていない状態でも「受注管理＞受注管理」の検索結果には表示されます。(注文番号等で検索してみてください。)
※注文の内容は「dtb_order_detail」テーブルに保存します。

※ステータスの値と対応状態を間違えていたので訂正しました。