Webアプリケーション側JavaScriptと，ブラウザ拡張（Firefox add-onなど)のJavaScript間でデータのやりとり，メソッドの呼び出しをすることは可能でしょうか．

できます。例えに出されたonchangeはformのラジオボタンなどが変更されたときに発火するイベントなので趣旨と違います。

「要素を変更するタイミング」といってもいろいろあるので提示してもらえれば最適なイベントをアドバイスできると思います。
例えば

• 属性が変更された - DOMAttrModified
• 要素が追加された - DOMNodeInserted
• form要素などDOM Level 1で定義されているものなら、change,selectとか

独自イベントではなくDOMで定義されているイベント一覧。
DOM events - Wikipedia, the free encyclopedia


webアプリケーション側で独自のイベントを発生するなら、

• event.initEvent - MDN Eventオブジェクトを使ってイベントを定義する。
• trigger(type, ［data］) - jQuery 日本語リファレンス jQueryでお手軽に。
• window.postMessage - MDN messageイベントなので独自イベントではありませんが。HTML5のpostMessage APIを使って通信。chrome,firefox拡張は簡単なものならこれを使う流れだったはず。

ブラウザ拡張側でイベントをキャッチするには、addEventListenerを使って監視します。
イベントは要素を指定して発火させることになるので拡張と通信する場合は大体 documentかwindowに対してイベントを起こします。

jQueryを使った例。

//拡張側
$(window).bind('hateq',function(){alert(1)});

//サイト側
$(window).trigger('hateq');

ページを継ぎ足す拡張の ”AutoPagerize” は継ぎ足された後にAutoPagerize_DOMNodeInsertedイベントを発生させるのでこれを監視して連携できるようにしています。
参考：AutoPagerizeで継ぎ足された部分に自分のスクリプトを適用する方法あれこれ - 0xFF