遠方の祖父（かなり前に他界）が帝国海軍にて将校であったことは、以前、記録を見せてもらったりした知っています。しかし、ウェブなどで検索しても彼の名前は出てきません。

　１）に関してはわかりません。

　２）ですが、検索すると下記サイトがヒットしました。１）の件も含め、そちらでご相談されてみてはいかがでしょうか。
　日本海軍の士官と資料: 海軍士官 ：http://naval.way-nifty.com/blog/

＞帝国海軍将校。記録を見せてもらった。検索で名前が出てこない。

(1)戦後も天皇陛下から勲章や役職の昇格通知。頂戴していたよう。実際多い？
・1964年(昭和39年)第1回戦没者叙勲の発令(同年4月29日、第1回生存者叙勲の発令)がされました。
・「位階令における位階（戦後）」に経緯が載っています。
・生存者叙勲の開始について

(2)役職などの記録を知りたい。問合せ先は？
「以前、帝国海軍将校。記録を見せてもらった。」ということから、祖父の遺品を保持している親族から話を聞くのが、一番はやいと思います。まさか、他界したから叙勲なども処分する。ということは考えられないでしょう。
この情報をもとに、国立国会図書館で司書の方に手助けしてもらいながら、調べるのがいいのではないかと思います。海軍将校便覧、将校文鑑、将校追想録などがあり、ほとんどの情報がここにあるのではないでしょうか。叙勲名簿から情報にアクセスすることもできるかもしれません。
また、日本海軍においては、陸軍と違い「将校」と「士官」とは、厳密に区別されていたようです。

１）勲章
本当に戦後に叙勲しているのなら、それは軍人としてではなく御祖父様の戦後の活動が功績として認められ与えられたもので、戦前または戦時中の功績によるものではないでしょう。
昇格の通知
現行法において天皇がその名を待って任命するのは内閣総理大臣と最高裁判所長官のみです。あなたの御祖父様はこの二つのうちどちらかの役職についていたのでしょうか。違うのであればありえません。
また旧憲法においても天皇の名を持って昇格を通知するのは、ごく一部の超エリート、旧海軍でいえば階級の頂点に立つ大将と中将の中でも重要な役職に付く者に限られます（それ以外の者は内閣総理大臣の名を持って任命されます）。決して多いケースとは言えないでしょう。
２）問い合わせ先
海軍軍人の軍歴は厚生労働省社会援護局業務課調査資料室に保管されてます。
http://www.mhlw.go.jp/seisakunitsuite/bunya/hokabunya/senbotsusha/seido04/index.html#shoumeisho
親族からの問い合わせは受け付けてますよ。