PHP MySQL

mysql_queryを実行する前に、mysql_connectまたはmysql_pconnectが実行されているはずで、そこにデータベースのIPアドレスまたはホスト名が記述されています。

ホスト名からIPアドレスを調べるのは、
Windowsなら

nbtstat -a ホスト名

Linuxなら

nslookup ホスト名

もし、接続できているのであれば、

select host from information_schema.processlist WHERE ID=connection_id()

というクエリーを投げると、接続中のクライアントに対するサーバ側から見たホスト名、または、IP アドレスが分かると思います。

ただ、
MySQL :: MySQL 5.1 リファレンスマニュアル :: 21.22 INFORMATION_SCHEMA PROCESSLIST テーブル

PROCESSLIST テーブルは非標準のテーブルです。それは MySQL 5.1.7 に追加されています。

なので、古い MySQL だとダメかもしれません。

＞PHPスクリプト側で接続時に利用しているIPアドレスを知る方法を教えて下さい。
PHPで

<?php
print_r($_SERVER);
?>

の出力結果に書かれていませんか？

ifconfigコマンドで割り当てられているアドレスが得られます。

<?php
echo "<pre>";
system("/sbin/ifconfig");
echo "</pre>";

こんなスクリプト作って確認してみてください。
ズラズラっと色々な情報が書かれていますが「inet addr:」または「inet6 addr:」の後のが割り当てられているアドレスです。
通常2つ以上あります。
127.0.0.1は所謂localhostなので除外します。
::1/128も所謂localhostなので除外します。
設定してダメだったというIPアドレスもあるかもしれません。それも除外します。
SQLサーバのIPアドレスがIPv4ならこちらもIPv4(inet addr:)、IPv6ならIPv6(inet6 addr:)になります。
SQLサーバのIPアドレスが分かるなら、それと一番似ている（前のほうが同じ）アドレスがあれば、多分それです。
たぶん、「10.」または「192.168.」で始まるのではないかと予想しています。

ところで、PHP中ではSQLサーバをIPアドレスで指定していますか？
もし違うなら、そもそもそのホスト名でSQLサーバにアクセス出来ていますか？
コントロールパネルの一番下のあたりにあるNetwork Toolsを使ってIPアドレスを確認してみてください。
さらにそのIPアドレスでコントロールパネルにアクセスして目的のSQLサーバか確認してみてください。
さらにrouge_2008さんも書かれていますが、そのSQLサーバのMySQLにユーザとパスワードが正しく登録されているか確認してみてください。
そしてそのIPアドレスは「10.」または「192.168.」で始まっていますか？WebサーバのIPアドレスとくらべてどうですか？
WebサーバもSQLサーバもskynethostingならどちらも似たようなIPアドレスになるはずです。
「10.」または「192.168.」で始まっているなら前述の方法で調べてみてください。
Webサーバとして割り当てているはずのグローバルIPアドレスに近いなら、そのWebサーバのアドレスでアクセスしているはずです。

それでもダメならJULYさんの言うようにNAT越しの可能性もあるかも知れません。
そうなると普遍的な確認方法は無いと思いますが、ただ、その可能性は低いのではと思います。
どちらにせよ、特別設定が必要ならどこかに確認方法が書かれたドキュメントがあると思うのですが……