サーバー通信型のiPhoneアプリを業者に制作依頼をし、アップしているのですが、サーバーを引っ越したいと考えています。しかし、業者に連絡がとれないため、自分でデータの移行をしたいと思っているのですが、ルート権限がないと、動かないプログラムらしく、通常のＷＥＢデータの移行とは違うように思います。そこで、こういう場合に、参考となる資料、ホームページ、書籍など、ありましたら、ご紹介をお願いします。

ソースがないんだから書き換えようがないのでは？

制作会社からソースをもらってるのなら、それを持って、また違う業者に書き換えを依頼したらいい。

iPhoneアプリとデータベースサーバの連携

サーバの OS が記載されていませんがiPhone アプリということなので Linux のサーバなのではないかと想像して回答します。

環境にもよりますが root 権限が無いと動かないというプログラムはあまりなくて、アクセスする対象の資源（ファイルなど）のアクセス権限と実行しているプロセスの権限の組合せによります。
大雑把にリソースは、利用者・グループ・全員に対して権限を割り当てられます。
それに対して実行しているプロセスにも、どの利用者で実行されているかという属性があります。
例えば、利用者 A に対する許可はあるが、それ以外（グループ・全員）には許可されていない場合には、利用者 A でプロセスが実行されていないとリソースにアクセスできません。

質問から想像するにデータの移行に必要なプログラムの実行者にたいして、必要なリソースの権限が割り当てられていないのではないかと思います。

まずは基本的なところからになりますが以下のようなところが参考になると思います。
http://homepage3.nifty.com/nasunu-i/LinuxBeginner/Permission.htm
http://www.tsh-world.co.jp/mms/acutech/manual/V701html/acucnct/con_48.htm
http://docs.oracle.com/cd/E19253-01/819-0383/secfile-60/index.html