関連付けをしようとしても関連付けができません。

ファイルには拡張子が付いていますか？

> アプリケーションを選択して、開くを押しても、表示されず、選択できません。

これはどの画面での操作ですか？
Windowsの標準機能で関連付けを設定する時の操作でしょうか？
Windows7では、以下のページで説明されている方法でも関連付けを変更する事ができます。

・Windows 7で、ファイルをダブルクリックして起動するアプリケーションを変更する方法について教えてください。
http://121ware.com/qasearch/1007/app/servlet/qadoc?QID=012110
※手順3では、関連付けを設定したいファイルの拡張子を選択してください。
※手順4では、ファイルを開くプログラムが一覧にない場合は、「参照」ボタンをクリックしてから、目的のアプリケーションの実行ファイルのある場所まで移動して、「***.exe」などの実行ファイルを選択して「開く」を押します。

上記手順4の操作で、「参照」ボタンからアプリケーションの実行ファイルを選択→「開く」を実行しても、「ファイルを開くプログラムの選択」画面の一覧に表示されないのですか？
間違いなくアプリケーションの実行ファイルを選択したでしょうか？
以下の情報もあると回答がつきやすいと思います。

・拡張子
・アプリケーションの名前と実行ファイル名
・アプリケーションを起動後、メニューから「開く」でファイルを開いた場合の動作結果

行った操作や動作結果の説明は、動画よりも文章の方が助かります。
動画の場合は、ダウンロードと閲覧に時間が掛かりますので、私は確認できません。

> ダブルクリックした時にでるダイアログです。
(～ 略 ～)
> ファイルを開くプログラムの選択の一覧に選択したアプリケーションが表示されません

「VLC Media Player」はインストールしていないので確認していませんが、「AviUtl」は「aviutl.exe」を選択後に一覧に選択状態で表示されましたので、アプリケーション側に問題がある可能性は低そうです。(※私の方はVistaで確認しています。)
上記2つ以外のアプリケーションで確認できないでしょうか？
一覧に表示されていないアプリケーションでしたら何でも大丈夫です。(実行ファイルを選択して開いた後に、一覧に追加されるかのみ確認してみてください。)
もし他のアプリケーションでも追加されない場合、使用状態により動作不良が起きているのかもしれません。
新規ユーザーを作成して、そちらで関連付けを設定できるか確認してみてください。
新規ユーザーで試してみても表示されない場合は、PCをリカバリーして購入時の状態に戻すしかないかもしれません。

rouge_2008さん
すみません。僕の力不足でした。
ほかのアプリケーションでも、同様のことが起きています。
たぶん、新規ユーザでやってみると、できると思います。
コメントありがとうございました。
ご協力ありがとうございました。

謝られる理由が分からないのですが、使い続ける内にPCが不調になる事は良くあります。
新規ユーザーで大丈夫な場合、レジストリが原因かもしれませんが、私は修正箇所までは分かりません。
他にも動作不良があるかもしれませんので、自分で作成・保存したデータ等は新規ユーザーの方にコピーして、アプリケーションもインストールし直して利用するのが無難だと思います。
※念のため、コピーしたデータ等が新規ユーザーで正常に開く事を確認してから、旧ユーザーアカウントを削除するようにしてみてください。(旧アカウントを残して置いても大丈夫ですが・・・)
※新規ユーザーへのデータコピーの方法が分からない場合は、新しく質問し直すようにしてください。

rouge_2008さんありがとうございました。