新聞記事をクリッピングする時、記事をPDFかJPEGで保存した後、必要な記事だけを切り抜くにはどのようなソフトを使うのがおすすめですか？

僕がいつも使っているフリーソフトウェアのJTrimがおすすめです。
http://www.forest.impress.co.jp/library/software/jtrim/

難しいことは、Fireworksやフォトショップで行っていますが、単純かつ簡単に切り抜きをするのでしたら、直感的に操作ができるJTrimが断然便利です。

切り抜きだけではなく、切り貼り・合成もﾔﾙのでしたら「GIMP」はいかがでしょうか。
http://www.geocities.jp/gimproject2/gimp2.8/#top

もしウェブで読んでいる新聞の場合なら、
１．すでにお使いかも知れませんが、ウィンドウズに搭載のSnippingToolはどうですか。jpg作成まではすぐにできます。段も四角くかこって、あとでいらない部分を白く消すことはペインターでできます。
２．evernoteというクラウドサービスと、ブラウザ用のプラグインのevernote　cripperをくみあわせて使うと、クリック２回で広告をきりおとして（テキストはテキストのままでもいいし、写真やｐｄｆの形でも選べる）保存できるし、あとから自分なりのキーワードで検索をかけることができて非常に便利ですよ。ノートをわけられるので「災害ニュース」「地方ニュース」「国際」「社会」「経済」「社説」のように中身の種類で分類することができます。続報がでたらノートのあいだが飛んでいるページをマージ（統合、くっつける）することもできます（オリンピックエンブレム問題なんかとびとびにニュースが出るので、マージするとあとで読みやすい）。超おすすめです。無料コースだと月に２５ＭＢまでとファイルサイズの縛りがきついですが、毎日いっぱいスクラップしたい人は、月額４００円くらいはらえば、月に１ギガバイトのデータを入れられるようになります。スクラップを２０ギガくらいためて動作がおそくなってきたら、寝る前に「データベースの最適化」をかけてねれば、明日のスクラッピングも快適に動作します。スマホで閲覧できます。

　
　わたしは、フラットヘッド式の複合機（Brother MFC-J6710CDW）で、
プレスキャン画面から、必要部分を（長方形）でトリミングします。
　JPEG で、先にファイル名を付けてから、ペイントで開きます。
　
　トリミングせずに、広い画面のまま、移動するのも能率的です。
　ネットからは PrtSc が便利です。以下、わたしの「合成画像」です。
http://q.hatena.ne.jp/adlib/questionlist
　
　Ex libris Web Library；Trump, Suzuki and Isaka（３点合成）
http://d.hatena.ne.jp/adlib/20160419
　イレブン異聞 ～ 9.11（＝正／誤＝）7.11 ～
　

記事を保存した後に切り抜く
ということですが、

最初に切り抜きたい記事が
分かっているということであれば、

その部分だけ、マウススキャナーで
スキャンして保存してしまう、
というのはどうでしょうか。

それについては以下のサイトに載っています。

http://tukaeru-bisiness.com/category4/category29/entry102.html