ベーシック認証のIDが “user” 、パスワードが “password” の場合は、

サーバ側のアクセスログの話であればログに残るのはユーザ名のみでパスワードは記録されません。
また、GoogleAnalytics などブラウザ側でJSを使ってログ集計を行う系の仕組みでもやはりその認証情報は取れないようになっている筈ですので問題ないでしょう。

ただしそもそも、URLにBASIC認証を含めてアクセスさせるやり方自体が今時は非推奨ですのでブラウザによっては正常に利用できないこともあります（古いブラウザは大丈夫でも最新ではセキュリティ上の配慮から無効にされていることがあります）。
なので、URLとID/PASSは別途利用者に伝えて普通にBASIC認証ダイアログで入力してもらうのが良いと思います。その際ユーザがブラウザにID/PASSを保存させる運用でも問題無いでしょう。