jQueryを使用して、複数のフォーム内でバリデーション作業を行う場合

validate する対象を拾い出す jQuery 関数を呼び出すときに、第2引数に this (form になってる) を指定します。
以下、コメントで「★」をつけたところに、this を入れておけば良いんじゃないでしょうか。

    $("form").submit(function(){
    
        //エラーの初期化
        $("p.error", this).remove();    // ★
        $("dl dd", this).removeClass("error");  // ★
        
        $("input[type='text'].validate,textarea.validate", this).each(function(){   // ★
            
            //必須項目のチェック
            if($(this).hasClass("required")){
                if($(this).val()==""){
                    $(this).parent().prepend("<p class='error'>必須項目です</p>");
                }
            }
            
            //数値のチェック
            if($(this).hasClass("number")){
                if(isNaN($(this).val())){
                    $(this).parent().prepend("<p class='error'>数値のみ入力可能です</p>");
                }
            }
            
            //メールアドレスのチェック
            if($(this).hasClass("mail")){
                if($(this).val() && !$(this).val().match(/.+@.+\..+/g)){
                    $(this).parent().prepend("<p class='error'>メールアドレスの形式が異なります</p>");
                }
            }
            
            //メールアドレス確認のチェック
            if($(this).hasClass("mail_check")){
                if($(this).val() && $(this).val()!=$("input[name="+$(this).attr("name").replace(/^(.+)_check$/, "$1")+"]").val()){
                    $(this).parent().prepend("<p class='error'>メールアドレスと内容が異なります</p>");
                }
            }
            
        });
        
        //ラジオボタンのチェック
        $("input[type='radio'].validate.required", this).each(function(){   // ★

            if($("input[name="+$(this).attr("name")+"]:checked").length == 0){
                $(this).parent().prepend("<p class='error'>選択してください</p>");
            }
        });
        
        //チェックボックスのチェック
        $(".checkboxRequired", this).each(function(){   // ★
            if($(":checked",this).length==0){
                $(this).prepend("<p class='error'>選択してください</p>");
            }
        });
        
        // その他項目のチェック
        $(".validate.add_text", this).each(function(){  // ★
            if($(this).prop("checked") && $("input[name="+$(this).attr("name").replace(/^(.+)$/, "$1_text")+"]").val()==""){
                $(this).parent().prepend("<p class='error'>その他の項目を入力してください。</p>");
            }
        });
        
        //エラーの際の処理
        if($("p.error").length > 0){
            $('html,body').animate({
                scrollTop: $("p.error:first").offset().top-40
            }, 'slow');
            $("p.error").parent().addClass("error");
            return false;
        }
    });