自治体によっては子供の病院代が無料のところがあるかと思います。

http://www.city.shinjuku.lg.jp/kodomo/file03_04_00003.html

治療を受けたのが"東京都内の契約医療機関"以外の場合、つまり

• 都外の医療機関等で診療を受けたときや、乳幼児医療証及び子ども医療証の提示ができず、 健康保険適用の自己負担分の医療費を支払ったとき
• 医療証を取り扱わない医療機関等で受診したとき

にはいったん自己負担分の医療費を支払いますが、あとで申請すれば返ってきます。

基本的にどの自治体も同じだと思います。

http://www.city.toshima.lg.jp/261/kosodate/kosodate/teate-jose/015729.html
http://www.city.setagaya.lg.jp/kurashi/103/134/527/d00133600.html
https://www.city.arakawa.tokyo.jp/kosodate/ikuji_teate/iryohijyosei/iryohijyosei.html

すでに新宿区のページが紹介されていますので、豊島区・世田谷区・荒川区を調べてみましたが、同様に「都内では受給証提示で無料（医療機関へ区が直接払う）」「都外では事後申請で現金支給」のようです。

23区外では「市町村内は無料、外は事後申請で支給」となるはずです。

何年も前の事ですが、東京に子連れで遊びに行って、熱を出してしまいました。私の住むところは子供は無料で、疑問に思い、病院窓口でお聞きした所、受信した病院で支払いをして、自宅に戻ってから自治体に聞いてくださいと言われました。数日後、住んでいるところの役所で書類を書いて申請しました。お金はもどってきましたよ。