javascriptで配列をシャフルして順番をバラバラにしたいのですが、配列が３つある場合に

ダミーの配列を用意して、それをシャッフルした後にダミーの配列の順にdata1～3を並び替えるのはどうでしょうか？

【手順】
1. data0を{0,1,2,3}で初期化する。
2. data0をシャッフルする。
3. data0の結果に応じて、data1～3を並び替える。

例えば、2.の後にdata0が{2,0,1,3}になっていたら、data1は{"Cさん","Aさん","Bさん","Dさん"}とする感じです。

No1の方と同じで、インデックスだけシャッフルで、data1からdata3はシャッフルする必要ないと思いますよ。
シャッフルされた順に、
data1[data0[（インデックス）］］
data2[data0[（インデックス）］］
data3[data0[（インデックス）］］
で、インデックスを＋１していけば結びついたまま取れますよ。

「添え字を並べ替えれば良いじゃない」という話は既に出ているので、別の視点から。


そもそも、そのシャッフルの仕方が良くないです。きれいに混ざりません。

• Array#sort実装のshuffleは偏る - Qiita
• Array.sort() should not be used to shuffle an array | Lambda

＃ Qiita からの参照ページ（2番目）がアーカイブ落ちですが、混ざらない様子がよく分かります

一見、短いコードでエレガントなように見えますが、ソートのアルゴリズムによっては思った通りにならない。
安定なソートで速い、というところでライブラリはマージソートで実装されていることが多いので、あのような結果になります。
＃ バブルソートとか選択ソートなら、期待通りに混ざると思います

で、こうするべきだろうと書かれているコードがこうです。

Array.prototype.shuffle = function (){
    var i = this.length, j, temp;
    if ( i == 0 ) return;
    while ( --i ) {
        j = Math.floor( Math.random() * ( i + 1 ) );
        temp = this[i];
        this[i] = this[j];
        this[j] = temp;
    }
};

あるひとつと、別のもうひとつをランダムに選んで入れ替える、を繰り返します。
これは、Array のメソッドを拡張するやり方なので、自分（this）を対象にしていますが、このやり方だと複数の配列を対象にもできます。
質問のケースに合わせるとこんな感じ。

var data1 =["Aさん","Bさん","Cさん","Dさん"]
var data2 =["北海道","千葉","神奈川","沖縄"]
var data3 =["１０歳","１２歳","５０歳","４４歳"]

var i = data1.length, j, temp;
while ( --i ) {
    j = Math.floor( Math.random() * ( i + 1 ) );
    // data1
    temp = data1[i];
    data1[i] = data1[j];
    data1[j] = temp;
    // data2
    temp = data2[i];
    data2[i] = data2[j];
    data2[j] = temp;
    // data3
    temp = data3[i];
    data3[i] = data3[j];
    data3[j] = temp;
}
console.log(data1);
console.log(data2);
console.log(data3);

値の入れ替えを三つの配列に対してやっているだけです。


あと、長く付き合うプログラムなら、データの持ち方は見直した方が良いと思います。
関係する一連の情報は、近くにあった方が良い です。
「近く」というのは、こういうことです。

// 配列の配列
var data =[
    ["Aさん", "北海道", "１０歳"],
    ["Bさん", "千葉",   "１２歳"],
    ["Cさん", "神奈川", "５０歳"],
    ["Dさん", "沖縄",   "４４歳"],
];

// 連想配列の配列
var data =[
    {name: "Aさん", address: "北海道", age: "１０歳"},
    {name: "Bさん", address: "千葉",   age: "１２歳"},
    {name: "Cさん", address: "神奈川", age: "５０歳"},
    {name: "Dさん", address: "沖縄",   age: "４４歳"},
];

こうしておくと、このシャッフルの問題もひとつの値を対象にするときのロジックが素直に使えたり、例えば、年齢で並べ替えたり、というときも素直なコードで書くことができます。