はてなブログで既存の検索バーのデザインをCSSで変えるにはどうすればいいですか？ちなみにテーマはDUDEを使わせて頂いています。

はてなブログ デザイン設定 にある「デザインCSS」に、対応するCSSを記述します。

たとえば、

.hatena-module-search-box .search-form {
  border: none;
  color:#FFF;
  background: #e83929;
  border-left: 10px solid #000000;
  border-right: 10px solid #000000;
}
.search-module-input {
    background: #e83929;
    }
.hatena-module-search-box .search-module-button {
  top: 9px;
  right: 8px;
}

このように追加すると、以下のようになります。