友人のいる熊本まで一人旅を計画しています。カネが無いので貧乏旅行です。交通費・宿泊代をなるべく安く済ませるにはどうしたら良いでしょうか？みなさんのお知恵を貸してください。よろしくお願いいたします。

ヒッチハイクなど、他人の好意で無料で乗せてもらう手段はなしとします。

青春18きっぷが使える期間(7月20日から9月10日)限定であれば、青春18きっぷを2回分使って普通列車のみでいくのが、青春18きっぷ(5回5日分)11850円で往復行けるので最安値となります。特にムーンライトながら(東京-大垣の普通列車夜行)の運行する7月27日から8月18日であれば、東京を23時10分に出て熊本には23時30分に到着することができます。ムーンライトながらの運行していない日でも、松戸の初電4時56分に出発すれば翌日の10時30分頃には到着します。
ただし、これらは被災している中国地方(山陽本線)が復旧しているのが前提です。

バスですと、東京-熊本の直行便はありません。大阪か福岡あたりで乗り換える必要があります。夏休みの場合、東京-福岡は「はかた号」が15000円、福岡-熊本はひのくに号が2160円です。
東京-大阪も昼行便があり、6000円程度、大阪-熊本はサンライズ号が11500円なので、大阪乗り換え、博多乗り換え、どちらも料金的には大差がなく片道18000円程度です。

飛行機は成田発のジェットスター航空が熊本便を出しています。片道13700円、もちろんこれに松戸から成田までの運賃も必要になります。

羽田からの飛行機、東京からの新幹線については詳細を省略しますが、それぞれ片道27000円程度、片道25000円程度となります。新幹線の場合学生であれば運賃に学割が2割効いて22000円程度となります。