メールフォームで、「select」を選択したら、連動したテキストが「input」にテキスト入力されるフォームを作りたいのですが、一番簡単な方法を教えてください。

javascript でやるのが簡単だと思います。
select 要素の onchange イベントで、選択されている option の value に指定されているメールアドレスを、別の input 要素の value に設定します。
こんな感じ。

HTML

部署：
<select name="department">
  <option value=""></option>
  <option value="soumu@some.enterprise.com">総務</option>
  <option value="keiri@some.enterprise.com">経理</option>
  <option value="houmu@some.enterprise.com">法務</option>
</select>

<p>
メールアドレス：
<input name="mailaddress" size="50">

javascript

window.addEventListener("DOMContentLoaded", _ => {
  const sel = document.querySelector('[name="department"]');
  const add = document.querySelector('[name="mailaddress"]');
  sel.addEventListener("change", ev => {
    add.value = sel.selectedOptions[0].value;
  });
});

jsFiddle にも置いておきました。
https://jsfiddle.net/1aptznw5/

この場合、部署とメールアドレスの値が同じになってしまうのですが、部署は選択内容にしつつ同じような挙動を得る事は可能でしょうか。

メールアドレスは、option の value ではなく、カスタムデータ属性に持つようにしてみました。

HTML

部署：
<select name="department">
  <option value=""></option>
  <option value="総務" data-mail="soumu@some.enterprise.com">総務</option>
  <option value="経理" data-mail="keiri@some.enterprise.com">経理</option>
  <option value="法務" data-mail="houmu@some.enterprise.com">法務</option>
</select>

<p>
メールアドレス：
<input name="mailaddress" size="50">

javascript

window.addEventListener("DOMContentLoaded", _ => {
  const sel = document.querySelector('[name="department"]');
  const add = document.querySelector('[name="mailaddress"]');
  sel.addEventListener("change", ev => {
    add.value = sel.selectedOptions[0].dataset.mail;
  });
});

jsFiddle の方も、追記の内容にしてます。
https://jsfiddle.net/1aptznw5/11/