派遣さんの契約終了について。

派遣から正社員になりたい、と考えている人に、契約更新をしない旨を伝えるのですから、どんな伝え方をしたとしても、落ち込むのはしょうがないでしょう。
今でさえ、満足な仕事ができていないのに、更にパフォーマンスが低下する恐れがあります。
質問者様はこのパフォーマンス低下の度合いを少しでも下げたいと思い、この様な質問をされていると思いますが、努力の方向性が間違っているのではないでしょうか。
まして、ご自身の能力不足に気が付かず、正社員になりたいと考えているような人が相手です。

従いまして、
1)すぐに次の採用に動く
必要なスキルを明確にし、それを派遣会社に伝え候補を集めてもらう。
（もし前回これを行った上で、スキル不足の人が来たのなら、その派遣会社にクレーム入れるべきです）
また、質問者様ご自身も、そのスキルを満たしているかどうかを見抜く方法論を考えなければなりません。

2)予算の確保
次の採用は、いま満足に仕事ができていない穴を埋めるため、また、更新しない旨を伝えた場合、更にパフォーマンスが落ちることを見越しての採用です。
ですから、今の「40代の派遣さん」の契約満了を待たずに採用します。
もしそのための予算が必要なのであれば、上司に掛け合い、予算を確保します。

3)御本人への伝え方
以上を踏まえ、極端な話、「40代の派遣さん」が契約更新をしない旨を告げられ、ショックで次の日から出社してこなくても大丈夫な状態を作る、ことが重要です。
その上での伝え方ですが、ドライに行くなら、「契約更新はしません。理由は会社としての決定です。としかお伝えできません」でいいでしょう。
そうでなければ、相手の成長を願い、誠実に、客観的に能力不足を伝えるといいと思います。
もし将来、その能力が身について、その時に弊社が募集をしていたら、その時は応募してください、と。