はてなダイアリーからの移行先について教えてください。

日付ごとのタイトルが消えてしまう

見出しごとにバラバラにされてインポートされ、投稿される順番が元々の投稿順と逆になる

これらはあきらめるしかないでしょう。ただし、ひとつひとつ編集する手間をおしまないのであれば、たとえば以下の方法があります。

• 引っ越したあとに投稿日時を変更する
  • はてなダイアリーは新しい記事を上方向・下方向の任意の方向に追加できました。はてなブログでは新しい記事の追加位置は上方向に固定されているため、引っ越しが完了したあと、上方向にしたい記事の投稿日時を23:59にちかい時刻に変更して、逆に下方向にしたい記事の投稿日時を00:00にちかい時刻に変更しましょう。
• 引っ越すまえに詳細編集で大見出しを中見出し・小見出しに変更して大見出しはその日のタイトルにする
  • この方法をすると、見出しの順番や日付ごとのタイトルも引っ越し可能になりますが、はてなスター・はてなブックマークの情報は (ダイアリーをブログモード設定で運用している場合はコメントも) うしなわれ、続きを読む記法がある記事は下の見出しもすべて続きを読むにかくれてしまいます。
  
  

見出しのタイトルが記入されていない場合、タイトルが全て「■」になる

これは現行のはてなブログの仕様のために「今日の1枚」が別記事で貼り付けられる問題とおなじ原因だとかんがえられます。
そのため、見出しがない記事のタイトルについてははてなダイアリー終了告知 の「はてなダイアリー終了に関するご意見フォーム」もしくは「お問い合わせ」に対応を確認してみるのもいいでしょう。

なるべく前に近く日記として使い続けたい場合、どれが一番おすすめか、詳しい方教えて頂けませんでしょうか。

これについては人によって一番いい方法がことなるため、回答をひかえておきます。終了前に非公開のブログなどでいろいろためしてみて、ご自身の最適な方法をみつけてください。

ただし、

Movable Type形式でエクスポートし、どこか別のブログサービスへ引っ越す

この方法をとるのであれば、「はてなの日記データ形式」でエクスポートして「はてなグループ」に引っ越す方法もあります。(はてなさんは「推奨していません」ということですが)

この場合、はてなダイアリー (の旧バージョン) とおなじシステムを利用しているため互換性はたかい一方で、はてなスター、はてなブックマーク、コメントなどは引っ越されないほか、URLの自動転送もおこなわれなくなるため、自分の日記へのリンク (たとえば本文中で過去記事へリンクしている場合など) はひとつひとつ修正する必要があります。

はてなグループはいずれかのグループに参加 (もしくは作成) が必要ですが、はてなダイアリーからの移行が目的での参加であれば、id:garyo さんが運営しているsubダイアリーグループ、もしくは、 id:portal18 さんが運営しているmainダイアリーグループに参加してみるのもよいでしょう。