HPのノートパソコンを使っています。

そもそもヘッドフォンを接続してすぐに音声を聞きたいのでしょうか。5秒ならまちましょう。

...それはさておき、最近のPCやスマートフォンのヘッドフォン端子はデジタル接続になっている場合がおおいです。(接続方式がデジタルなだけで音声の転送はアナログなんですけどね)
というのも、ヘッドフォンを接続・切断したときのノイズ (プチっという音) の低減や、通常のヘッドフォンとヘッドフォンマイクの識別 (最近のPCはヘッドフォン端子とマイク端子はわかれていませんよね) などで、デジタル接続は有利になるためです。

その接続ノイズを低減するために、ヘッドフォン端子は常に音声を転送しているのではなく、接続したのを認識してから音声を転送するようになっています。認識までの時間は機種や接続しているヘッドフォンの種類などにもよりますが、3～10秒かかります。
※ PCがデジタル接続に対応していても、ヘッドフォンがデジタル接続に対応していない場合、接続時のノイズは低減されません。両方が対応してはじめてノイズが低減されるので、ヘッドフォンを耳につけたまま接続するのはやめましょう。

そのため、認識までの時間は音声が転送されませんが、故障ではありませんのでご安心ください。

ちなみに、現在でもアナログ接続を利用している代表として、ニンテンドー3DSがあげられますが、3DSはヘッドフォンを接続するとかなりおおきな音がしてうるさいです。そのかわりに接続した瞬間に音声が聞こえます。