統計に関する素人による質問です。

大きなバラつきがあるごちゃごちゃのデータ群に関して、標準偏差を計算したいのですが、平均値ではなく「標準偏差の中央値を使ったバージョン」にしたいです。

イメージとしては、中央絶対偏差を計算するように、「中央値と各値の差」を求め、それを二乗した値の中央値の平方根といった具合です。

ここで質問ですが、統計学には上記のような考え方はあるのでしょうか。
「PC上でプログラムなどで計算するなら中央絶対偏差で良いだろう」と言われればそれまでなのですが、そもそも統計学的にどうしようもない理由で「中央値バージョンの分散や標準偏差が無い」ということであれば事前にしっかり知っておきたいと思い、質問しました。